Центр масс тела. Равновесие

Центр тяжести

геометрическая точка, неизменно связанная с твёрдым телом, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на частицы этого тела при любом положении последнего в пространстве; она может не совпадать ни с одной из точек данного тела (например, у кольца). Если свободное тело подвешивать на нити, прикрепляемые последовательно к разным точкам тела, то направления этих нитей пересекутся в Ц. т. тела. Положение Ц. т. твёрдого тела в однородном поле тяжести совпадает с положением его центра масс (См. Центр масс). Разбивая тело на части с весами p k , для которых координаты x k , y k , z k их Ц. т. известны, можно найти координаты Ц. т. всего тела по формулам:

Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .

Синонимы :

Смотреть что такое "Центр тяжести" в других словарях:

Центр масс (центр инерции, барицентр) в механике это геометрическая точка, характеризующая движение тела или системы частиц как целого. Содержание 1 Определение 2 Центры масс однородных фигур 3 В механике … Википедия

Неизменно связанная с твёрдым телом точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести, действующих на частицы этого тела при любом положении тела в пространстве. У однородного тела, имеющего центр симметрии (круг, шар, куб и т. д.),… … Энциклопедический словарь

Геом. точка, неизменно связанная с твёрдым телом, через к рую проходит равнодействующая сила всех сил тяжести, действующих на частицы тела при любом его положении в пространстве; она может не совпадать ни с одной из точек данного тела (напр., у… … Физическая энциклопедия

Неизменно связанная с твердым телом точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести, действующих на частицы этого тела при любом положении тела в пространстве. У однородного тела, имеющего центр симметрии (круг, шар, куб и т. д.),… … Большой Энциклопедический словарь

Центр тяжести - ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ, точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести, действующих на частицы твердого тела при любом положении тела в пространстве. У однородного тела, имеющего центр симметрии (круг, шар, куб и т.д.), центр тяжести находится … Иллюстрированный энциклопедический словарь

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ, точка, в которой сконцентрирован вес тела и вокруг которой его вес распределен и уравновешен. Свободно падающий предмет вращается вокруг своего центра тяжести, в свою очередь вращающийся по траектории, которую описывал бы точечный… … Научно-технический энциклопедический словарь

центр тяжести - твёрдого тела; центр тяжести Центр параллельных сил тяжести, действующих на все частицы тела … Политехнический терминологический толковый словарь

Центроид Словарь русских синонимов. центр тяжести сущ., кол во синонимов: 12 главное (31) дух … Словарь синонимов

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ - человеческого тела не обладает постоянным анат. расположением внутри тела, а перемещается в зависимости от измене ний позы; экскурсии его относительно позвоночника могут достигать 20 25 см. Опытное определение положения Ц. т. всего тела при… … Большая медицинская энциклопедия

Точка приложения равнодействующей сил тяжести (весов) всех отдельных частей (деталей), составляющих данное тело. Если тело симметрично относительно плоскости, прямой или точки, то в первом случае Ц. т. лежит в плоскости симметрии, во втором на… … Технический железнодорожный словарь

центр тяжести - Геометрическая точка твёрдого тела, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на частицы этого тела при любом положении его в пространстве [Терминологический словарь по строительству на 12 языках (ВНИИИС Госстроя… … Справочник технического переводчика

Книги

• Центр тяжести , Поляринов А.В.. Роман Алексея Поляринова напоминает сложную систему озер. В нем и киберпанк, и величественные конструкции Дэвида Митчелла, и Борхес, и Дэвид Фостер Уоллес… Но его герои – молодые журналист,…

Первым открытием Архимеда в механике было введение понятия центра тяжести, т.е. доказательство того, что в любом теле есть единственная точка, в которой можно сосредоточить его вес, не нарушив равновесного состояния.

Центр тяжести тела – точка твердого тела, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на элементарные массы этого тела при любом его положении в пространстве.

Центром тяжестимеханической системы называется точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести, действующих на все тела системы, равен нулю.

Проще говоря, центр тяжести – это точка, к которой приложена сила тяжести независимо от положения самого тела. Если тело однородное, центр тяжести обычно расположен в геометрическом центре тела. Таким образом, центр тяжести в однородном кубе или однородном шаре совпадает с геометрическим центром этих тел.

Если размеры тела малы по сравнению с радиусом Земли, то можно считать, что силы тяжести всех частиц тела образуют систему параллельных сил. Их равнодействующая называется силой тяжести , а центр этих параллельных сил – центром тяжести тела .

Координаты центра тяжести тела могут быть определены по формулам (рис. 7.1):

, , ,

где – вес телаx i , y i , z i – координаты элементарной частицы, весом Р i ;.

Формулы для определения координат центра тяжести тела являются точными, строго говоря, лишь при раз­биении тело на бесконечное число бесконечно малых элементарных частиц весом Р i . Если же число частиц, на которые мысленно разбито тело, конечное, то в общем случае эти формулы будут приближенными, так как координаты x i , y i , z i при этом мо­гут быть определены лишь с точностью до размеров частиц. Чем меньше эти частицы, тем меньше будет ошибка, которую мы сделаем при вычислении ко­ординат центра тяжести. К точным выражениям можно прийти лишь в ре­зуль­тате предельного перехода, когда размер каждой частицы стремится к нулю, а число их неограниченно возрастает. Как известно, такой предел называется оп­ределенным интегралом. Поэтому фактическое определение координат центров тяжести тел в общем случае тре­бует замены сумм соответствующими им интегралами и применения методов интегрального исчисления.

Если масса внутри твердого тела или механической системы распределяется неоднородно, то центр тяжести смещается в ту часть, где оно тяжелее.

Центр тяжести тела не всегда даже может находиться внутри самого тела. Так, например, центр тяжести бумеранга находится где-то посередине между оконечностей бумеранга, но вне самого тела бумеранга.

Для крепления грузов положение центра тяжести очень важно. Именно в эту точку приложены силы тяжести и инерционные силы, действующие на груз в процессе движения. Чем выше находится центр тяжести тела или механической системы, тем более оно склонно к опрокидыванию.

Центр тяжести тела совпадает с центром масс.

Если твердое тело находится вблизи поверхности Земли, то к каждой материальной точке этого тела приложена сила тяжести. При этом размеры тела по сравнению с размером Земли настолько малы, что силы земного притяжения, действующие на все частицы тела, можно считать параллельными между собой

Центр (точка С ) системы параллельных сил тяжести всех точек тела называется центром тяжести твердого тела , а сумма сил тяжести всех его материальных точек называется силой тяжести , действующей на него

Координаты центра тяжести твердого тела определяются по формулам:

где - координаты точек приложения сил тяжести , действующих на k -ю материальную точку.

Для однородного тела:

где V - объем всего тела;

V k - объем k -й частицы.

Для однородной тонкой пластины:

где S – площадь пластины;

S k – площадь k- ой части пластины.

Для линии:

где L - длина всей линии;

L k - длина k -ой части линии.

Способы определения координат центров тяжести тел:

Теоретические

Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно или в плоскости симметрии, или на оси, или в центре симметрии.

Разбиение. Если тело можно разбить на конечное число таких частей, для каждой из которых положение центра тяжести известно, то координаты центра тяжести всего тела можно непосредственно вычислить по выше приведенным формулам.

Дополнение. Этот способ является частным случаем способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. В расчеты их включают со знаком «-».

Интегрирование . Когда тело нельзя разбить на составные части, центры тяжести которых известны, используют метод интегрирования, являющийся универсальным.

Экспериментальные

Метод подвешивания. Тело подвешивают за две-три точки, проводя из них вертикали. Точка их пересечении – центр масс.

Метод взвешивания . Тело разными частями помещают на весы, определяя тем самым опорные реакции. Составляют уравнения равновесия, из которых определяют координаты центра тяжести.

С помощью теоретических методов выведены формулы для определения координат центра тяжести наиболее распространенных однородных тел:

Дуга окружности

Выделим в неоднородном твердом теле элементарный объем dV=dx dy dz (рис.5.3). Вес выделенного элемента будет , где – удельный вес в точке тела с соответствующими координатами.

Веса элементов образуют систему сил, параллельных оси аппликат. Модуль равнодействующей

весов элементов называется весом твердого тела, а геометрическая точка приложения равнодействующей – центром тяжести твердого тела. Для вычисления этих величин воспользуемся формулами (5.1) и (5.4), заменив в них суммирование интегрированием по объему, то есть

Величина, стоящая в числителе формулы (5.8), называется статическим моментом веса твердого тела относительно координатной плоскости .

Очевидно, что для однородного тела формула (5.8) принимает вид

Структура формул для вычисления и аналогичная.

В этом случае центр тяжести твердого тела совпадает центром его объема.

Если один из размеров твердого тела существенно меньше двух других, тело называют тяжелой поверхностью . При неизменном весе единицы площади поверхности она является однородной. Формулы для вычисления веса и координат центра тяжести получаются из (5.7) – (5.9) заменой интегралов по объему на интегралы по поверхности. В некоторых случаях поверхность может быть плоской.

Если два размера твердого тела существенно меньше третьего, тело называют тяжелой линией . При неизменном весе единицы длины линии она является однородной. Формулы для вычисления веса и координат центра тяжести получаются из (5.7) – (5.9) заменой интегралов по объему на криволинейные интегралы. В некоторых случаях линия может быть прямой.

Если однородное твердое тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести тела лежит в этой плоскости (сумма статических моментов элементарных сил веса относительно плоскости симметрии равна нулю).

Если однородное твердое тело имеет две плоскости симметрии, то центр тяжести тела принадлежит линии пересечения этих плоскостей.

Если однородное твердое тело имеет три плоскости симметрии, то центр тяжести тела расположен в точке их пересечения.

Если твердое тело может быть мысленно расчленено на элементы, веса и положения центров тяжести которых известны, то вычисление веса твердого тела и положения его центра тяжести может быть выполнено по формулам (5.1) и (5.4). Так, например, рассчитываются вес и координаты центра тяжести строящегося судна.

Если тело имеет вырезы, то они могут быть учтены как элементы отрицательного веса.

Заметим, что в инженерной справочной литературе приводится достаточно большое количество однородных элементов (объемных, плоских и криволинейных), для которых рассчитаны веса и положения центров тяжести. Ниже в таблице приведены некоторые из них.

Вид элемента	Объем (площадь) элемента	Абсцисса ц.т.	Ордината ц.т.	Аппликата ц.т.

В некоторых ситуациях положение центра тяжести твердого тела может быть найдено по результатам эксперимента. Например, при подвешивании тела на нити, его центр тяжести располагается на линии нити. Подвесив тело за другую точку, не лежащую на первой линии, найдем положение центра тяжести тела как точку пересечения двух линий. Другим способом, применяемым для нахождения центра тяжести протяженных тел, является так называемая постановка его на «ножи» с параллельными лезвиями. При сближении «ножей» центр тяжести тела стремится остаться между ними и, в пределе, оказывается на линии совпадения лезвий.

В инженерной практике для определения положения центра тяжести тела могут применяться способы, являющиеся комбинацией расчета и эксперимента. В качестве примера приведем вычисление удаления центра тяжести самолета, изображенного на рис.5.4., от его переднего колеса.

На рисунке: Д- динамометр, показывающий величину силы нормального давления переднего колеса, P – вес самолета, – расстояние от переднего колеса до оси задних колес.

Очевидно, что интересующее расстояние от переднего колеса до линии силы веса самолета может быть получено из уравнения суммы моментов сил и P относительно оси задних колес, как

Замечание: если вес Р самолета не известен, то, переставив динамометр Д под задние колеса, можно получить величину силы нормального давления . Тогда

Пример 5.1. Для однородной пластины, имеющей форму кругового сектора с углом 2 при вершине (см. рис. 5.5), найти положение центра тяжести пластины.

Проведем ось абсцисс так, что бы она являлась биссектрисой угла 2 . Тогда, в силу симметрии, ордината центра тяжести равна нулю, т.е. .

Двумя радиусами, элементарный угол между которыми , выделим на пластине элемент, площадь которого приближенно равна площади равнобедренного треугольника

Абсцисса центра тяжести выделенного треугольного элемента равна .

Теперь можно составить выражение для вычисления абсциссы центра тяжести кругового сектора как

Замечание: при вычислении учтено, что центр тяжести однородного плоского тела имеет на плоскости те же координаты, что и у соответствующей плоской фигуры.

Пример 5.2. Для тонкой однородной пластины сложной формы, размеры которой указаны на рис.5.6, найти положение центра тяжести.

Мысленно расчленим пластину на три элемента: прямоугольник, треугольник и круг. Для каждого из элементов найдем площадь и координаты центра тяжести:

Тогда для пластины координаты центра тяжести можно вычислить по формулам:

При вычислении отверстие трактовалось как присоединение круга отрицательного веса.